磁性几何魔方。

这题的题面非常漂亮，配图甚至颇有趣味。

描述了一种可以通过磁性节点隨意拼接的多面体模块，要求求出在特定数量下，整个结构两端能达到的最大直线距离。

很容易就让人误以为自己是在做一款益智玩具的拼图游戏。

白板上，尹航已经画了十二种复杂的拼接形状。

每一种构型都充满了机械美感，计算出的极端点距离列在一旁，姚思雨还在下面补了几个奇异的边界情况。

很显然，两人已经在这道题里走得很深，走得很远，並不是不会做。

问题是，走得太远，也走得太散。

像是在一片没有尽头的森林里开了十二条路，却不知道哪一条才是生路。

“我们现在最大的问题是构型太多了，如果纯靠穷举，我能枚举出一堆，但没法证明，我不知道有没有漏掉一种比现在更极端的诡异拼法。”

尹航指著白板上那些密密麻麻的图形说，语气有些烦躁。

姚思雨在旁边心有戚戚地点头：“通过刚才的计算，我其实能猜到答案大概落在哪个范围。但我的证明写得不乾净，总觉得如果阅卷人挑刺，隨便给出一个我没考虑到的拓扑结构，我的逻辑链就断了。”

听两人解释罢，江临站到白板面前。

先看那些复杂的构型图，再看旁边列出的距离表，最后，他的视线停留在尹航划掉的那几行试图用对称群来分类的推导上。

尹航有一条路线，是想把旋转翻折之后等价的构型先並掉，用对称性减少枚举。

方向很敏锐，但等价类並不等於上界。

它只能减少要看的图，不能告诉你最远的端点一定在哪里。

姚思雨走的另一条路线，是按模块之间的连接面面积来分类。

也没有错。

但分类一多，证明过程就会变成一个充斥著无数分类討论的泥潭，结果是自己也被绕进去了。

江临从白板槽里拿起一根蓝色的马克笔，在白板最上方的一大块空白处，写了两个字。

上界。

尹航皱了皱眉。

因为在他看来，这显然是一句废话。

“我们当然知道要求上界，问题是这个上界你怎么抓，你怎么能保证一个统一的公式能罩住所有乱七八糟的拼法？”

江临转过头，看著尹航，平静地说道：“你不知道怎么抓，是因为你们从一开始，就把这道题当成空间拼图在看。”

此话一出，姚思雨猛地抬头，盯著江临。

江临用手里的蓝色马克笔在白板上点了几个点，然后用线將它们连起来。

一个连接图+有效位移的模型，取代了之前那些繁复的立体构型图。

“几何不能丟。”他说，“但不能一开始就被几何图形牵著走。先把每个模块允许的连接位姿，压成有限几种有效位移，再把模块之间的连接关係抽成图。”

说著，他在其中一条路径上画了一个箭头。

“真正要抓的是任意合法拼接里，两个端点之间的欧氏距离，最多能从这些连接路径里榨出多少。”

尹航皱眉：“所以不是枚举形状，而是先证明任何构型都不可能超过某条简单链的展开长度？”

“对。”江临点头，“图给出路径结构，几何约束给出每一步最多能贡献的距离。两者合在一起，才是上界。”

姚思雨盯著那条链状结构，顺著说道：“如果上界被这条链卡死，那我们只需要再构造一个具体拼法，证明它刚好能达到这个上界。”

“对。”

江临在链的旁边画出一个近似拉直到极限的极端构型。

图画得瑞安潦草，但关键端点、连接面和相对朝向交代得一清二楚。

“先用连接图和几何约束证明上界，再用极端构型给出取等构造。一拉一推，这题就闭合了。”

“等一下。”

尹航皱著眉头走近白板，用黑色马克笔在江临的构型旁边补了一条旋转虚线。

“这里如果沿这条轴转一次，会不会利用空间对角线让端点更远？”

江临扫了一眼，摇头说：“不会。”

“为什么？”

“因为这一步旋转只改变方向，不增加有效位移的模长。端点距离的投影已经被前面的连接约束卡住了。你能换坐標系里的朝向，但不能凭空增加那一节贡献的长度。”

尹航还是有些心有不甘，又指向原来的海星状构型，说：“那这种非链状分支呢，两个分支端点之间会不会更长？”

“分支端点之间的距离，必须经过公共连接节点分解。三角不等式先给自然上界：d(a，b)≤d(a，c)+d(c，b)d(a，b)le d(a，c)+d(c，b)d(a，b)≤d(a，c)+d(c，b)。关键是取等条件。在这道题的连接约束下，两条分支不能同时沿同一直线完全展开。你拉直一条，另一条的有效投影就会被折掉。”

江临用笔在公共连接节点上点了两下。

“所以分支结构最多逼近同等节数的链式上界，不可能超过它。”

姚思雨听到这里，终於全部明白过来。

立刻拿起笔，在自己的草稿纸上迅速补上了两行关键的图论转化。

嘆道：“所以我们之前的枚举，就像是拿著相机，在给所有可能的雕塑疯狂拍照，试图找出一张看起来最高大的。”

江临点点头，放下马克笔，说：“数学不需要我们拍完所有照片，只需要我们证明，最高的那张照片，它的天花板在哪里，然后证明有人能摸到那个天花板就行了。”

尹航看著白板，沉默了足足有半分钟。

最后，他拿起黑板擦，果断擦掉自己原先画的十二种构型和旁边那长长的距离表。

然后在江临画出的连接图旁边打了一个勾。

“行。”

尹航的语气里的那种烦躁一扫而空。

“这个上界，闭合了。”

一直坐在窗边没参与进来的孟澈，此时默默地调整了一下坐姿。

他没参赛，也不打算过度参与这道题的计算细节。

但他从这段对话里，听出了熟悉的味道。

江临刚才做的第一件事，是剥离。

把形状，三维，磁性这些具有极强视觉干扰的物理外壳从问题里剥掉，然后换成图结构，节点和上界。

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